Corde per pianoforte: tutta la teoria semplificata

Colpendo una corda con un oggetto trasmettiamo alla stessa un’energia che la fa iniziare a vibrare: vedremo che il fenomeno è meno semplice di quanto in apparenza sembri.

Le vibrazioni possono essere, in teoria, di qualunque tipo, come visibile nella immagine con segno ?.

In pratica, ovviamente, solo le vibrazioni che trovano uno zero o nodo nei punti di attacco possono esistere realmente mentre le altre si annullano immediatamente scontrandosi tra loro a causa della fase errata.

Perdonino i puristi ma ometto una trattazione che annoierebbe e basta senza dare altri contributi, e semplifico i concetti.

Si genera quindi un regime di onde stazionarie che possono avere solo determinate lunghezze d’onda, multipli della fondamentale: ovvero la frequenza più bassa che la corda può generare.

I multipli saranno quindi sempre numeri interi come 1,2,3, n.

Nell’immagine seguente uno spettro di una nota del pianoforte. Come si può vedere le armoniche sono molte ma nell’altro articolo sulla tavola armonica capiremo come non tutte si propaghino nello stesso modo.

Spettro di una nota (Sol 4) di un pianoforte

Ma quale è la frequenza acustica che la corda genera e che noi sentiremo?

Per conoscere questa frequenza occorre sapere a quale velocità l’onda si sposta lungo la corda, cosa che non è del tutto immediata, e determinare quindi come l’onda si propagherà nell’aria.

Facciamo allora un passo indietro.

Onde acustiche

Un onda acustica, ovvero un’onda meccanica, si sposta in due maniere o modi: in modo longitudinale e/o in modo trasversale sempre attraverso un corpo intermedio, sia esso un gas, un liquido o un solido.

Inutile dire che i suoni, o onde acustiche, non si propagano, in nessun modo, nel vuoto ovvero in assenza di un mezzo.

Il modo longitudinale

In questa modalità l’onda si sposta comprimendo e rarefacendo il corpo che sta attraversando.

Per fare questa operazione le molecole o gli atomi che compongono il corpo in attraversamento vengono compressi e tirati in continuazione gli uni contro gli altri; da qui il riscaldamento del corpo in oggetto (dissipazione termica) e parte della perdita di energia del suono.

L’orecchio umano, sensibile attraverso il timpano a queste variazioni di pressione, percepisce il suono in arrivo.

La velocità del suono in questo modo di propagazione è la seguente, dove v è la velocità in metri al secondo, σ è la densità del materiale in kg/dm³, ed E il modulo di elasticità o modulo di Young.

Il modo trasversale

E’ un modo abbastanza particolare in cui le onde si spostano nel mezzo in senso trasversale al cammino. La corda che vibra di uno strumento musicale rappresenta bene l’idea del cammino trasversale di un’onda ma occorre fare attenzione perché gli strumenti a corda non usano le stesse formule che vedremo ora anche se il principio è identico.

E’ bene dire subito che questo tipo d’onda si può generare solo nei materiali solidi, dato il tipo di consistenza che essa richiede, ed è quindi esclusa dai liquidi e dai gas. Inutile aggiungere che non può quindi essere mai un’onda acustica.

Il suo moto è assai più lento, nei comuni materiali, rispetto all’onda longitudinale, circa la metà in valore, e comporta una dissipazione d’energia, proporzionalmente, ancora maggiore.

La formula della velocità è la seguente dove v è la velocità in metri al secondo, σ è la densità del materiale in kg/dm³, e G il modulo di scorrimento o resistenza a taglio.

Materiale	Densità kg/dm³	VL m/s	VT m/s
Alluminio	2,7	6420	3040
Bronzo	8,6	4700	2110
Acciaio	7,9	5790	3100
Acqua	1	1482	Impossibile
Aria	0,001	353	Impossibile

Velocità Longitudinali e Trasversali

Onde in una corda musicale

Una corda musicale si muove di moto trasversale, e questo è indubbio, ma la formula già vista risulta inutilizzabile a causa dell’impossibilità di stabilire a priori una resistenza al taglio. Si tratta infatti, a livello macroscopico di una struttura messa in trazione da una forza esterna variabile.

Si usa allora la formula di d’Alembert per corde in trazione, che è la seguente.

Dove v è la velocità in metri al secondo, F la forza di trazione sulla corda in Newton, m la massa della corda in kg e L la sua lunghezza.

Da questa si ottiene, saltando i passaggi intermedi, la formula che determina la frequenza della corda stessa.

Dove f è la frequenza, n il numero d’armonica, F la forza in Newton sulla corda, σ il peso della corda, e L la lunghezza della corda stessa.

In realtà le formule sarebbero più complicate ma per i nostri bisogni è perfettamente sufficiente questa.

Occorre tenere conto infatti che la nostra corda è perfettamente omogenea e sottile, dove per sottile si intende che il rapporto lunghezza diametro è molto grande: inutile quindi inserire diametri o pesi specifici unitari per sezione.

La corda reale

Abbiamo quindi stabilito che una corda suona con una frequenza tanto più acuta quanto più essa è leggera e tirata, mentre la sua tonalità sarà più grave (bassa frequenza) più è pesa e meno tirata.

In realtà nei pianoforti, per evitare distorsioni nell’arpa le corde sono quasi sempre e quasi tutte tirate (caricate) con la stessa forza: varia quindi la lunghezza e il diametro (massa) delle stesse per variare la tonalità.

All’accordatore il compito di trovare la frequenza giusta nell’intorno di un intervallo ben limitato.

Si noti la differenza di diametro delle corde

Impedenza

L’impedenza acustica, come quella elettrica, è la resistenza che il suono o un’onda acustica, incontrano nel loro cammino.

A seconda del valore d’impedenza, maggiore o minore, l’onda che si propaga viene riflessa in fase o contro fase e questo è il motivo del funzionamento della corda stessa.

Una corda tesa tra due punti vede infatti un’impedenza quasi infinita negli stessi e l’onda si riflette tra un punto e l’altro rimbalzandovi sopra.

Ecco come un’onda si comporta al variare dell’impedenza

L’impedenza ovviamente ha effetti anche sulla durata del suono: essa infatti, attraverso il ponticello permette all’onda di propagarsi sulla tavola armonica e, in parte, di disperdersi sui nodi estremi a causa del non totale o perfetto isolamento.

P. Lavacchini

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